Lemme :
Soient \(P\in{\Bbb R}[X]\) un polynôme à coefficients réels, \(\alpha\in{\Bbb C}\) et \(m\in{\Bbb N}^\star\)
Si \(\alpha\) est une racine de \(P\) de multiplicité \(m\) alors \(\bar\alpha\) est une racine de \(P\) de multiplicité \(m\)
(Nombre complexe conjugué)
Démonstration :
Polynômes irréductibles
Théorème :
Les polynômes irréductibles de \({\Bbb R}[X]\) sont les polynômes de degré \(1\) et les polynômes de degré \(2\) à discriminant strictement négatif
(Polynôme irréductible)
Décomposition
Théorème :
Soit \(P\in{{{\Bbb R}[X]}}\)
Alors il existe \(\alpha_k,b_l,c_l\in{\Bbb R}\) avec \({{\Delta_l}}={{b_l^2-2c_l}}{{\lt 0}}\) pour tout \(l\), des \(n_k,m_\ell\in{\Bbb N}^\star\) tq $${{P(X)}}={{\operatorname{cd}(P)\prod^m_{k=1}(X-\alpha_k)^{n_k}\prod^s_{l=1}(X^2+b_lX+c_l)^{m_\ell} }}$$
(Discriminant du deuxième degré)
